প্র্যাকটিকেল: স্প্রিং-দোলন পদ্ধতিতে বস্তুর ভর নির্ণয়

প্র্যাকটিকেল: স্প্রিং-দোলন পদ্ধতিতে বস্তুর ভর নির্ণয়

তারিখ: (আজকের তারিখ)

লক্ষ্য/উদ্দেশ্য: দোলনের কালপর্ব (Period) পরিমাপ করে স্প্রিং ধ্রুবক $k$ ব্যবহার করে অজানা বস্তুর ভর $m$ নির্ণয় করা।

তত্ত্ব (Theory):

সরল হেলিকাল স্প্রিংয়ে ভর $m$ ঝুলালে উল্লম্ব সরল হার্মোনিক দোলন হয়।
কালপর্ব,

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

এখানে $k$ হচ্ছে স্প্রিং ধ্রুবক। তাই,

$$m=\frac{k\,T^2}{4\pi^2}$$

অর্থাৎ $k$ জানলে আর $T$ মেপে নিলে অজানা ভর বের করা যায়।

উপকরণ

• হেলিকাল স্প্রিং ও হ্যাঙ্গার

• স্ট্যান্ড ও ক্ল্যাম্প

• স্টপওয়াচ

• মিলিমিটার স্কেল/রুলার (প্রয়োজনে স্ট্যাটিক পদ্ধতিতে $k$ বের করার জন্য)

• পরিচিত কয়েকটি মানের ভর (যেমন 50g, 100g, 150g)

• অজানা ভর (যার ভর নির্ণয় করবো)

কার্যপদ্ধতি:

ধাপ–A: স্প্রিং ধ্রুবক $k$ নির্ণয় (দুইভাবে যেকোনো একভাবে)

পদ্ধতি–১: স্ট্যাটিক (লোড–এক্সটেনশন) পদ্ধতি

1. স্প্রিং স্ট্যান্ডে ঝুলিয়ে নিলাম, নিচে স্কেল ঠিক করে শূন্য-লম্বতা/রেফারেন্স পড়লাম।

2. 100 g ভর ঝুলিয়ে নতুন দৈর্ঘ্য পড়লাম—এক্সটেনশন $x$ পেলাম।

3. 150 g, 200 g… এভাবে কয়েকটি ভর নিয়ে প্রতিবারই $x$ মাপলাম।

4. প্রতিটি ক্ষেত্রে $F=mg$ এবং $k=F/x$ থেকে $k$ বের করলাম; শেষে গড় $k$ নিলাম।

পদ্ধতি–২: ডায়নামিক (Period) পদ্ধতি—পরিচিত ভর দিয়ে

1. পরিচিত ভর $M$ (যেমন 100 g) স্প্রিংয়ে দিয়ে ছোট অ্যামপ্লিটিউডে দোলালাম।

2. 10টি পূর্ণ দোলনের সময় নিলাম, তারপর $T=\frac{t_{10}}{10}$। একই ভরের জন্য 3 বার করে $T$ নিলাম, গড় $T$ করলাম।

3. সূত্র $\,k=\frac{4\pi^2 M}{T^2}\,$ থেকে $k$ বের করলাম। কয়েকটি ভর দিয়ে $k$ হিসাব করে গড় $k$ নিলাম।

আমি ডায়নামিক পদ্ধতিই ব্যবহার করেছি, কারণ এতে স্প্রিং-হুকের ঘর্ষণ/শূন্য-পড়ার ত্রুটি কম প্রভাব ফেলে।

ধাপ–B: অজানা ভর $m$ নির্ণয়

1. অজানা ভরটি স্প্রিংয়ে ঝুলালাম ও খুব অল্প অ্যামপ্লিটিউডে দোলাতে দিলাম (স্যার বললেন, অ্যামপ্লিটিউড ছোট রাখলে SHM-এর শর্ত ভালো থাকে)।

2. 10টি পূর্ণ দোলনের সময় $t_{10}$ নিলাম। এটাকে তিনবার করলাম।

3. গড় $T=\frac{\text{গড় }t_{10}}{10}$ হিসাব করলাম।

4. আগে নির্ণীত $k$ ব্যবহার করে $\,m=\frac{kT^2}{4\pi^2}\,$ থেকে অজানা ভর বের করলাম।

---

পর্যবেক্ষণ সারণি:

(ক) $k$ নির্ণয়—ডায়নামিক পদ্ধতি

পরিচিত ভর $M$ (kg)	10 দোলনের সময় $t_{10}$ (s)	$T=t_{10}/10$ (s)	গণিত $k=\frac{4\pi^2 M}{T^2}$ (N/m)
0.100	19.8	1.98	10.1
0.150	24.3	2.43	10.1
0.200	28.1	2.81	10.0

গড় $k \approx 10.07$ N/m (আমি নিলাম $k=10.1$ N/m)

(সংখ্যাগুলো উদাহরণস্বরূপ; ল্যাবে যা পাবো তাই বসাতে হবে।)

(খ) অজানা ভরের জন্য $T$ মাপা

ট্রায়াল	10 দোলনের সময় $t_{10}$ (s)	$T$ (s)
1	22.2	2.22
2	22.0	2.20
3	22.4	2.24

গড় $T = \frac{2.22+2.20+2.24}{3} = 2.22$ s

---

গণনা (Calculation):

$$m=\frac{kT^2}{4\pi^2} = \frac{(10.1)\times(2.22)^2}{4\pi^2} = \frac{10.1\times 4.9284}{39.478} = \frac{49.38}{39.478} \approx 1.25 \text{ kg}$$

অর্থাৎ অজানা ভর $\;m \approx 1.25$ kg (উদাহরণ হিসেবে)।
(ল্যাবে প্রাপ্ত মান অনুযায়ী ভিন্ন হতে পারে; আমি ফলাফল দুই দশমিক পর্যন্ত লিখেছি।)

ফলাফল

• স্প্রিং ধ্রুবক, $k \approx 10.1$ N/m (গড় মান)

• অজানা ভর, $m \approx 1.25$ kg

সতর্কতা/সাবধানতা (স্যার যেগুলো গুরুত্ব দিলেন)

1. অ্যামপ্লিটিউড ছোট রাখতে হবে—নয়তো SHM থেকে বিচ্যুতি হবে, $T$ বদলে যাবে।

2. টাইমিং নেওয়ার সময় প্রথম ১–২ দোলন বাদ দিয়ে স্থির দোলনে সময় ধরা ভালো।

3. প্রতিবার একই পয়েন্ট থেকে সম্পূর্ণ 10 দোলন গোনা (যেমন সর্বোচ্চ নিচের অবস্থান)।

4. স্প্রিংে স্থায়ী বিকৃতি নেই কি না দেখে নেওয়া; অতিরিক্ত লোড দেওয়া যাবে না।

5. স্টপওয়াচের পারালাক্স ও প্রতিক্রিয়া-সময় (reaction time) ত্রুটি কমাতে বারবার মাপ নিয়ে গড় করতে হবে।

6. স্ট্যান্ড–ক্ল্যাম্প শক্ত করে বসাতে হবে, যাতে অনাকাঙ্ক্ষিত দোলন না হয়।

ত্রুটির উৎস (আমি যা লক্ষ্য করেছি)

• মানবিক প্রতিক্রিয়া-সময় ত্রুটি (স্টপওয়াচ চালু/বন্ধে দেরি)

• স্প্রিংয়ের ভর উপেক্ষা করা (প্রয়োজনে কার্যকর ভর $m_{\text{eff}} = m + m_{\text{spring}}/3$ ধরলে আরও নিখুঁত হয়)

• বায়ু প্রতিরোধ ও হুক-জয়েন্টের ঘর্ষণ

• স্কেলে শূন্য-পড়ার ত্রুটি (স্ট্যাটিক পদ্ধতি নিলে)

আলোচনা

আমি দেখি $k$–এর মান তিনটি ভরের ক্ষেত্রে প্রায় একই এসেছে—এটা ভালো ইঙ্গিত যে স্প্রিং লিনিয়ার (Hooke’s law মানছে)। অজানা ভরের জন্য পাওয়া $T$–কে সূত্রে বসিয়ে যেটা ভর পেলাম, সেটি পরিচিত কিলোগ্রাম সেট দিয়ে ক্রস–চেক করলে আরও নিশ্চিত হওয়া যায়। সময়ে সামান্য ত্রুটি থাকলে ভরের হিসাবেও প্রোপাগেট হয়, তাই 10 দোলন ধরলে গড় ত্রুটি তুলনামূলক কমে।

উপসংহার

দোলন পদ্ধতিতে স্প্রিং-মাস সিস্টেমের কালপর্ব মেপে অজানা বস্তুর ভর সফলভাবে নির্ণয় করা গেল। পর্যবেক্ষণগুলোর সামঞ্জস্য দেখায় যে পরীক্ষাটি সঠিকভাবে সম্পন্ন হয়েছে।